NARINAN.

NARINAN : 

Un ejemplo de MATEMÁTICAS (utilidad del GPS) y TRANSVERSALIDAD

Resumen :

 

Muchas veces los alumnos nos han preguntado, poniendo a prueba nuestra capacidad para motivarlos y convencerlos, ¿para qué sirven las matemáticas?. En nuestras respuestas a veces nombramos el diseño y construcción de aparatos que mejoran nuestra calidad de vida, y en las últimas tecnologías han aparecido los GPS (Global Position Space). Vamos a ver el uso e interpretación de los datos que nos proporcionará un Navegador (utilizando en algún momento la hoja de cálculo EXCEL).

Palabras clave :

Deportes de aventura, transversalidad, GPS, interpretación de datos, pendiente, EXCEL. 

Preámbulo :

En el número 27 de la revista TÁNDEM, de la Editorial GRAÓ, apareció un artículo[1] sobre el NARINAN. Dentro de las muchas posibilidades que propone dicho artículo, y basándome también en mi experiencia de haber participado en esta edición del NARINAN, expongo a modo de introducción alguna de ellas.

Desde hace 5 años, coincidiendo con el final de curso, el IES Llançà organiza, con la colaboración del AMPA y los Ayuntamientos correspondientes, una caminata nocturna de 28’5km, enlazando los 5 municipios que aportan alumnos al Instituto (Port-Bou, Colera, Llançà, Selva de Mar y Port dela Selva), a la cual pueden ir los alumnos que acaban de cursar 1º de Batxillerato, los padres de dichos alumnos, los miembros de la comunidad educativa del IES (profesores, personal no docente, AMPA) y personas que hayan tenido vínculos con el IES de cualquier tipo (antiguos alumnos y padres de antiguos alumnos, ex-profesores,…).

Actualmente hay un boom por los deportes de aventura, que añadido al hecho de que los alumnos que cursan 1º de BACHILLERATO tienen esta caminata marcada en el calendario y al hecho de que entre los veteranos que van repitiendo participación la comentan y fomentan entre los compañeros (profesores, padres, compañeros de trabajo o amigos) hace que año tras año la participación se mantenga en torno a las 40 personas.

La caminata no es un círculo con principio y fin en la misma localidad, sino que este año 2008 se ha seguido el itinerario siguiente : Port-Bou, Colera, Llançà, Selva de Mar, Port dela Selvay de nuevo Llançà.

Figura 1

El recorrido es pues por l’Albera, el principio de los Pirineos des del lado de Cataluña, y el paisaje es el de la costa Brava, el Cap de Creus, y l’Albera. Los tramos 1 y 2 son la primera parte del “Camí de Ronda dela Costa Brava” también llamado GR-92 (es decir, es una parte de un Sendero de Gran Recorrido).

Esta caminata recibe el nombre de NARINAN, onomatopeya de “anar-hi anant”, término catalán que designa que un proyecto se está haciendo o que se está yendo hacia algun lugar con calma pero sin pausa, y se eligió este nombre ya el primer año después de diferentes propuestas por parte de los alumnos de 1º de Bachillerato, en la hora de tutoria.

Este trayecto no es tan sencillo como el gráfico pueda parecer ya que se realiza monte a través, con sus subidas y bajadas. Especialmente duros son los tramos 1 y 3 : en el tramo 1 se sube el Coll del Frare (210m) nada más salir de Port-Bou, después de cenar (a las 22h aprox.) por una rampa de 1’3km con pendiente media del 24% y de hasta el 44% en algun momento,  mientras que en el tramo 3 se sube y baja a Sant Pere de Rodes (670m, aunque por seguridad solo se llegue hasta los 534m), en la cima del cual se coincide con la salida del Sol, por una rampa de 2’6km, con pendientes de hasta el 41% y pendiente media del 19% seguida de un trozo casi horizontal de 2’8km con pequeños trozos de hasta 36% de pendiente. La llegada final a Llançà suele ser a las 9h de la mañana del día siguiente (a la playa del Cau del Llop, concretamente este año, donde los participantes toman un baño de refresco o se mojan los sufridos pies).

Se realizan durante el recorrido diversas paradas en las que un equipo de soporte (AMPA, profesores,…) proporcionan agua, zumos, frutos secos,…, y con la posibilidad de abandonar si algún participante ha sufrido algún contratiempo (indisposiciones, cansancio, caídas,…). En estas paradas se recuperan fuerzas y ánimos para continuar la caminata, y los más expertos y que sulen ser los que en mejor condición física están animan a los nuevos participantes a continuar, informándoles de las dificultades venideras hasta la próxima parada,…

Este año ha sido el primero al cual he ido, y hemos ido tomando datos con un GPS (MAGELLAN SporTrak Map) para luego, en el próximo curso, explicar a los alumnos cómo utilizarlo, los datos que se pueden obtener, la información que se puede sacar de ellos, hacer el cálculo de las pendientes usando el EXCEL,…

Y, quizás aun más importante, durante la preparación del NARINAN por parte de los alumnos se ha realizado un exhaustivo ejercicio de Educación porla Ciudadanía: se les ha recordado que no se puede ensuciar el campo, que no se pueden romper plantas, que no hay que burlarse de los compañeros que sufran dificultades sino animarlos y ayudarlos a llegar a buen puerto (nunca mejor dicho pues de los 5 municipios el único que no tiene playa es Selva de Mar y alguna de las paradas antes mencionadas son en las playas).

Durante el recorrido se pasa por encima de 3 búnkers de la Guerra Civil, aparte de que según la luminosidad de la noche o ya de la mañana se pueden ver otros, y si nos desviáramos un poco del recorrido (por ejemplo durante el descenso de Sant Pere de Rodes) podríamos ver dólmens o megalitos[2], de entre el 3000 y el 1000 aC, que juntamente con el paso por el Monasterio de Sant Pere de Rodes (s. I dC, románico) son una muestra más de la transversalidad del proyecto ya que puede enlazarse con las Ciencias Sociales (Historia de España y Cataluña). Y aún una muestra más de la transversalidad : una referencia a la Mitología Griega con la historia de la formación de los Pirineos según una leyenda catalana[3] .

 

Figura 2

Uno de los carteles indicadores, marcado como puede verse lo cual indica que el camino es correcto,

y en el que puede verse la indicación de un dólmen.

Preparación del NARINAN desde el área de Matemáticas :

En las horas de Matemáticas se explica que se tomarán datos con el GPS y se expone su funcionamiento y que posteriormente se usará el EXCEL para buscar los tramos de máxima pendiente y la pendiente media a partir de los datos del GPS.

Estos datos serán analizados durante el próximo curso (Trigonometría, Hoja de Cálculo,…) ya que el NARINAN se realiza a finales de Junio.

Datos del GPS :

Al ser una actividad al aire libre y acompañando una muy buena noche (despejada, luna llena, sin tramontana), al poner en marcha el GPS vemos que hay suficientes satélites disponibles para aportar datos y por lo tanto se podrá conseguir todo lo que estaba planificado.

En la pantalla del GPS se ve un gráfico parecido a este :

Figura 3

De entre todos estos satélites[4], el GPS marca los que nos van a proporcionar datos :

En órbita, a 20200km dela Tierra, hay 27 satélites, 24 de los cuales están repartidos en grupos de 4 formando 6 planos orbitales y los otros 3 son de soporte, y están todos controlados des de las estaciones terrestres. El receptor (GPS) conoce la situación de cada uno de ellos y a partir del tiempo que tarda en recibir la señal (que viaja a la velocidad de la luz) de 3 de ellos el GPS calcula su posición por triangulaciones.

Debido a la falta de sincronización entre el reloj del GPS y los relojes atómicos de los satélites se produce un pequeño error (en el caso del GPS usado, en la caja de compra pone que hay un error posible de 3m), que se minimiza con un cuarto satélite:

Con 2 satélites, la intersección de sus señales es una circunferencia, mientras que con 3 satélites esa intersección se convierte en 2 puntos (uno de los cuales se puede eliminar por absurdo) y por tanto tenemos localizado el GPS en un pequeño volumen (debido al error posible por la no sincronización de relojes), y ese volumen se minimiza con el cuarto satélite hasta casi convertirse en un punto (localización exacta) : longitud, latitud y altitud. 

Incluso se puede mejorar la precisión mediante el sistema GPS Diferencial (DGPS) :

Basándonos en que el error producido afecta por igual a receptores próximos, si se conoce por otros métodos la posición exacta de un receptor y por tanto se conoce el error producido, se puede transmitir esta información a receptores próximos con lo cual se corrigen sus errores.

Datos que nos ha proporcionado el GPS :

Primero transportamos estos datos del GPS al ordenador del siguiente modo : conectamos el GPS al ordenador, instalamos el CD MapSend World Wide Basemap y lo ejecutamos, seleccionamos el menú Trayectos y a continuación Desargar desde GPS, entonces el ordenador indica que ha localizado el GPS y comienza la descarga de los Nodos (si el GPS contuviera informaciones de otros recorridos anteriores o posteriores se descargarán también, pero luego se eliminan manualmente para quedarnos sólo con lo que queremos) a un archivo. Finalmente, otra vez con el menú Trayectos seleccionamos Exportar, y entonces donde lo pongamos quedará como un archivo de Excel, con lo cual podremos seleccionar las columnas o trozos de columnas que nos interesen para ver su representación gráfica, y con las funciones del Excel podremos analizar lo que queramos (pendientes,…).

Con el MapSend podemos ver el recorrido sobre un mapa y el perfil :

En el menú Registro GPS seleccionamos Centro de control y la pantalla queda dividida en 3 partes : en la izquierda vemos un mapa, mientras que la parte derecha queda dividida en 2 partes habiendo en la de arriba los datos del trayecto (kilómetros, altura, latitud,…) y en la de abajo el perfil.

A continuación, en el menú Registro GPS o en el Trayectos, seleccionamos Cargar de archivo y seleccionamos el archivo que contiene los datos del trayecto a analizar, y aparece la pantalla que reproducimos en la figura siguiente.

Recordemos lo que esla Latitudy Longitud de un punto sobre la superficie terrestre :

Longitud : distancia angular, medida paralelamente al plano del Ecuador, entre el Meridiano de Greenvich y el punto en cuestión

Latitud : distancia angular, medida sobre un meridiano, entre el Ecuador y el paralelo sobre el que está el punto en cuestión.

El mapa que aparece en la parte izquierda de la pantalla está hecho con los datos de Longitud y Latitud, mientras que el perfil de la parte inferior derecha está hecho con los datos de Kilómetros y Altura.

El GPS toma datos de forma contínua, y si en algún punto queremos tomar y resaltar los datos, apretando la tecla GOTO del GPS (botón central inferior, que representa un caminante) y con la tecla de direcciones de flechas se accede a poder poner un icono identificativo del punto y escribir un comentario recordatorio.

Figura 4

En el eje de abcisas se indica las marcas tomadas por el GPS, las cuales son casi a intervalos de tiempo constantes ya que cuando se hacía una parada de avituallamiento el GPS detecta que no hay movimiento y deja de marcar, para no distorsionar el perfil, y además, el espacio que calcula el GPS es el recorrido por nosotros, que al ser en pendiente no coincide con el horizontal.

Esto tiene el inconveniente de que cuando queramos medir el pendiente (del Coll del Frare, por ejemplo, que es la primera montaña del gráfico), deberemos hacerlo con un análisis exhaustivo de los datos del GPS y no con el gráfico anterior.

(La segunda montaña es Sant Pere de Rodes).

En nuestro caso, el recorrido entero del Narinan es el de la figura anterior, pero a efectos prácticos, para hacer una explicación más sencilla y clara con los alumnos lo he reducido a las 136 primeras marcas, que es justo al final del segundo tramo, antes de iniciar el ascenso a Sant Pere de Rodes, y por tanto el perfil que analizaremos es el siguiente :

Figura 5

Las marcas1 a4 corresponden a la salida hasta plantarse al pie del Coll del Frare. A continuación, la pendiente media de las marcas2 a7 es del 22%, momento en que se recorre un tramo por carretera para llegar a las marcas13 a16 cuya pendiente media es del 26% y entonces ya estamos en la cima del Coll del Frare. El tramo de máxima pendiente ha sido de la marca13 ala 14, con un 44%.

Las marcas145 a175 corresponden a la parte más dura del Narinan, durante el ascenso a Sant Pere de Rodes, y en esos 2’650km hay tramos con pendientes del 40% y 41%, siendo la pendiente media del 19%.

Para hacernos una mejor idea de su “dureza”, basta con decir que en alguna ocasión ha sido etapa de contrareloj en la Voltaa Catalunya, por el lado de carretera de subida desde Vilajuïga, con casi 9km de carretera con una pendiente promedio del 5’5%[5]  y que mirando las pendientes de cada kilómetro, la máxima es del 7’9%. Incluso se puede comparar con otra pendiente muy conocida en el mundo del ciclismo : l’Alpe d’Huez tiene 13’1km de subida con pendiente promedio del 7’9% en sus famosas 21 curvas (calculando en cada kilómetro, la pendiente máxima es del 10’6%, si bien llega a ser del 12% en algún punto).

Las pendientes del Coll del Frare y Sant Pere de Rodes se han calculado con el Excel :

El GPS nos da en cada marca la distancia recorrida desde el principio del trayecto y la altura de ese punto. Supongamos que tenemos esto en las columnas A y B. Nos interesa tener una columna con la distancia recorrida entre cada 2 marcas consecutivas y la diferencia de altura entre cada 2 marcas consecutivas. Para ello, en la columna C ponemos en la primera celda, C1, el valor de A1 y en cada celda siguiente ponemos =A2-A1, =A3-A2,…, mientras que en la columna D ponemos en la primera celda, D1, el valor de B1 y en cada celda siguiente ponemos =B2-B1, =B3-B2,…  (Hacer esto es rápido con COPIAR y PEGAR).

	A	B	C	D	E	F
1			=a1	=b1	=RAIZ(c1*c1-d1*d1)	=d1/e1
2			=a2-a1	=b2-b1	=RAIZ(c2*c2-d2*d2)	=d2/e2
3			=a3-a2	=b3-b2	=RAIZ(c3*c3-d3*d3)	=d3/e3

Fórmulas que se escribirán en la hoja de cálculo, con lo que bastará entrar los datos en las columnas A y B.

Si en la columna C tenemos el espacio recorrido (que vamos a suponer recto aunque en realidad contiene algunas curvas) desde la marca anterior y enla Dla diferencia de altura con la marca anterior, enla Eponemos por Pitágoras el espacio horizontal recorrido usando la función =RAIZ(Cn*Cn-Dn*Dn). Entonces la pendiente correspondiente a ese tramo la ponemos en la columna F y es  =Dn/En. Finalmente, si queremos la pendiente media de una parte de este recorrido (por ejemplo entre las marcas 2 y 7), la calculamos con la función =PROMEDIO(f2:f7).

Ejemplo gráfico :

Figura 6

si conocemos las alturas de los  puntos B y C,  y el espacio recorrido de B a C,  d  , para hallar la pendiente del tramo que va de B a C primero calculamos por Pitágoras la distancia horizontal entre B y X,  x ,  y a continuación haremos :

, donde C es la altura del punto C y B la del B.

Hay en todo momento que tener en cuenta que durante la caminata no es todo línea recta, sino que más bien es al revés, hay contínuas curvas. Si quisiéramos tener esto en cuenta en el momento de hacer los cálculos, hay que observar las columnas correspondientes a Latitud y Longitud que nos informarán en todo momento de la dirección seguida :

Los valores iniciales eran, respectívamente,

N42°25.604′

E3°09.626′

Si en algun momento el valor dela Latitudaumentara (por ejemplo en las marcas21 a23) significaría que estamos retrocediendo en nuestro camino, pero en los tramos 1, 2 y 3, como vamos de Port-Bou a Colera, luego a Llançà y luego a Selva de Mar,la Latituddebe disminuir, mientras que en el tramo 5 (de Port dela Selva a Llançà) debe aumentar (el menor valor fue N42º19´289’).

Sin embargo,la Longitudvaría continuamente (nada más empezar, las 4 primeras marcas alternan aumentos con descensos de Longitud, y así en la mayor parte del recorrido), lo cual indica un camino serpenteante, como debe ser pues el ascenso o descenso por la ladera de un monte debe ser así forzosamente.

A vista de pájaro,

Figura 7

las 8 primeras indicaciones del GPS sobrela Longitudde las marcas nos muestran un camino en zig-zag, y así será en muchos de los tramos.

Por ello, simplificaremos el problema suponiendo que el camino fuera recto, del punto de origen (P) al de llegada (Q), con lo cual ya solo nos quedará el problema de las diferentes alturas de las marcas, es decir, que a veces el camino será a una velocidad (en bajadas) y a veces a otra (en subidas), pero también simplificaremos el problema buscando la velocidad media :

 

En total el trayecto (tramos 1 y 2 tan solo) es de 10747m y se realiza en 3h42’2’’ habiendo ya descontado las paradas, es decir en 222 minutos (aproximadamente) o bien 13322 segundos, lo cual nos da una velocidad media de 48’4 m/min o bien  0’81 m/s. Calculando también el tiempo  medio entre una marca y otra, nos da que las 136 marcas de los tramos 1 y 2 se hacen a intervalos de 97’95 segundos, es decir, 98 segundos.

Si nos interesara conocer la distancia horizontal (no la recorrida, sino la horizontal), se puede calcular aproximadamente con las consideraciones anteriores.

Por ejemplo, hasta la marca 15 (Coll del Frare) :

Figura 8

h=200m

15*98=1470 segundos

x=1470*0’81=1190’7 metros

d²=1190’7²-200²=1377766’49

por tanto  d=1173’78m

En cualquier caso, hay que tener en cuenta que la presencia de máximos o mínimos entre 2 marcas la distancia entre las cuales se quiera calcular puede hacer que aplicar este rápido método nos dé errores, y entonces es mejor separar en 2 triángulos rectángulos y calcular en cada uno su distancia horizontal.

Por ejemplo en el caso de Colera, en la marca 48 (figura 9):

Sería mejor calcular a i b (aplicando el método anterior 2 veces) y luego sumarlos, y nos dará 3782’52m, pero aplicando el método anterior sin tener en cuenta la presencia del Coll del Frare por enmedio nos dará 3810’13m, es decir un error de tan solo 27’61m

Figura 9

En cualquier caso, esta distancia horizontal puede ser interesante para calcular pendientes, pero no para el recorrido total, ya que incluso observando el mapa de la figura 7 se ve que no se puede conectar por línea recta PortBou con Llançà sin entrar en el mar Mediterráneo.

Función polinómica cuya gráfica sea la del perfil :

No vamos a desarrollar aquí todos los pasos, pero daremos la indicación de que si se considera oportuno se puede (con ayuda de programas como

MAPLE 8) buscar el polinomio de grado 15 que pasa por los 16 puntos que podríamos considerar que “dan” el perfil (los que tienen alguna característica especial, como por ejemplo el primero, los que localmente son máximos o mínimos, el último,…): un buen método sería la fórmula de interpolación de Lagrange, que se obtiene considerando los polinomios P₁(x), P₂(x),…,P₁₆(x) obtenidos cada uno imponiendo que se anulan en los puntos de abcisas :

x₂, x₃,…,x₁₆ y que toma el valor y₁ en x₁,

x₁, x₃,…,x₁₆ y que toma el valor y₂ en x₂,

…

x₁, x₂,…x₁₅ y que toma el valor y₁₆ en x₁₆,

respectívamente,

es decir:

 

 

etc…

y considerando su suma  P(x)=c₁.P₁+…+c₁₆.P₁₆

Este polinomio cumple que P(x₁)=y₁…..P(x₁₆)=y₁₆

 

Bibliografía :

• HERNÁNDEZ, JOAN P. (2001) : Llegendes de Catalunya, edicions Baula.
• MORA, JOSEP M. (2008) : “A oscuras por el camino de ronda : intentando entender la educación mediante un proyecto interdisciplinario”, Tándem, nº 27, 28-43.

• es.wikipedia.org/wiki/DGPS [consulta : 28-junio-2008]

• www.altimetrias.net [29-junio-2008]

 

Article de la revista TÀNDEM, número 33, de l’Editorial GRAÓ

Lluís Sabater Anticó, professor de Matemàtiques de l’Institut de Llançà.